Impairs magiques

Les chiffres impairs recèlent des propriétés méconnues que vous fait découvrir Antoine Houlou-Garcia.

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    En complément de la vidéo de l'épisode n°27 sur les nombres impairs, voici la manière dont Boèce présente la propriété 1=1², 1+3=2², 1+3+5=3² et ainsi de suite : 

    Parmi ces nombres, si je considère 1, je vois naître le premier carré en puissance. Mais si à 1 j'ajoute le troisième, en laissant celui qui le précède, j'obtiens le second carré : car si, laissant 2, j'ajoute 3 à l, je fais naître 4, qui est un carré. Si maintenant, laissant le nombre médian, 4, j'ajoute de la même façon à 1 et 3 le nombre 5, je vois naître le troisième carré, 9 : car 1 et 3 et 5 font 9. Mais si, laissant dans l'intervalle le nombre 6, j'ajoute 7 aux nombres précédents, le total monte à 16, c'est-à-dire à la valeur du quatrième carré. Résumons clairement la manière de faire naître cette sorte de nombre : si l'on additionne entre eux tous les impairs, suivant la série du nombre naturel évidemment, on obtient le tissu des carrés.

    Institution arithmétique, II, 12

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    Et voici la manière dont on démontre l'égalité énoncée en fin de vidéo sur la somme des n premiers cubes :

     
    Je donne