« Une chance sur 14 millions » ou bien « une chance sur 10 milliards ». Qui dit vrai ?

Jour du tirage : pour commencer, concentrons-nous sur les deux premiers numéros tirés sans se préoccuper, pour l’instant, des résultats équivalents. Par exemple, tirer d’abord la boule numéro 5 et ensuite la boule numéro 9 équivaut à tirer d’abord la boule numéro 9 et ensuite la boule numéro 5 compte tenu que seulement le résultat final nous intéresse pour cette démonstration.

Il y a 49 possibilités pour le tirage aléatoire (impossible à prédire) du premier numéro. Supposons que le premier numéro tiré est le 5. Pour le choix du deuxième numéro, il reste 48 possibilités parmi les numéros restants. Ainsi, le décompte des 48 résultats possibles avec 5 comme premier numéro est le suivant : (5, 1), (5, 2), …, (5, 4), (5, 6), …, (5, 49). Mais le choix du numéro 5 est une décision arbitraire (c’est-à-dire personnelle) de ma part ! Choisissez n’importe quel autre numéro comme premier tirage et vous voilà avec 48 autres résultats possibles. Comme il y a 49 possibilités pour le tirage du premier numéro et 48 possibilités avec le tirage du second numéro, on se retrouve avec 2 352 résultats possibles (49 fois 48)

Si on étend cette procédure au tirage des six numéros, on obtient 49 • 48 • 47 • 46 • 45 • 44, ce qui donne un total de 10 068 347 520 résultats possibles, soit plus que 10 milliards de résultats. Mais, attention! Comme l’ordre de sortie des numéros n’est pas considéré dans ce type de tirage, il faut maintenant éliminer les résultats équivalents. Par exemple, les sélections 5-9-24-36-37-41, 9-5-24-36-37-41, 41-24-5-37-9-36, … ne doivent compter que pour un seul résultat possible. Il faut donc diviser le total mentionné ci-haut par le nombre de façons de classer 6 numéros différents : il y a le choix parmi 6 positions pour le classement du premier numéro, puis le choix parmi 5 positions pour le deuxième numéro une fois le premier numéro classé et ainsi de suite. En bout de ligne, on obtient 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1, donc un grand total de 720 classements différents.

Divisons maintenant 10 068 347 520 par 720 : on obtient 13 983 816 résultats possibles. La probabilité de gagner à la Lotto 6/49 équivaut donc au sous-ensemble de résultats qui nous intéressent, ici notre seule sélection de 6 numéros différents divisée par l’ensemble des résultats possibles : 1 / 13 983 816, environ « une chance sur 14 millions ».

À vous de compter maintenant : cinq cartes sont tirées au hasard d’un paquet normal de 52 cartes à jouer. Combien y-a-t-il de résultats différents possibles?

Extra : Quelle est la probabilité que les 5 cartes soient de la même famille (c’est-à-dire avoir 5 piques, 5 trèfles, 5 carreaux ou 5 cœurs)?