En relisant mes derniers billets, je m'aperçois que je n'ai pas beaucoup parlé de problèmes physiques plus traditionnels. Je visitais cette semaine le Laboratoire de simulations au Commissariat à l'énergie atomique (CÉA) de Grenoble, en France, et j'ai vu un travail qui m'a fasciné (Frédéric Lançon et collaborateurs, Europhysics Letters, 1999).

Le problème est simple. Lorsqu'on dépose des atomes d'or sur une surface, ces atomes s'organisent entre eux et forment des cristaux. Ces cristaux, à cause de la surface utilisée, peuvent se placer selon deux orientations correspondant à un rectangle debout ou couché avec un atome dans chaque coin.  Toutefois, la hauteur du rectangle n'est pas un multiple entier de sa largeur (le rectangle est racine carrée de 2 ou 1,4142... fois plus haut que large).

Supposons maintenant que l'on empile des rectangles couchés et qu'à un moment donné, on commence à mettre sur la dernière couche de rectangles couchés une couche de rectangles debout.  Puisque les deux longueurs ne sont pas un multiple l'une de l'autre, il est impossible d'empiler de manière à aligner tous les atomes, ou une fraction importante de ceux-ci. On dit alors que la position des atomes sur une surface est « incommensurable » par rapport à l'autre.

Les atomes vont donc essayer de se placer localement de manière à minimiser leur énergie. Parce que les réseaux de chaque côté de l'interface sont incommensurables, il est impossible pour tous les atomes de se positionner dans une position proche du cristal. Une bonne partie des atomes se retrouvera donc loin de la position d'équilibre. Malgré tout, l'interface n'est pas formellement désordonnée. Le rapport incommensurable est fixe, déterminé, et impose malgré tout une structure régulière, qu'on appelle quasi-cristalline.

De ces résultats, on apprend une chose : tout ce qui n'est pas périodique n'est pas nécessairement désordonné, il peut exister une structure qu'il est difficile de percevoir, mais qui est présente.  Dans le cas de l'interface d'or, on peut comprendre la structure d'une manière détournée. On peut retrouver la position des atomes en considérant les intersections d'une ligne sur une grille carrée, comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Si l'angle que fait la ligne avec la grille est déterminé par le problème. Sa position ne l'est pas. Et c'est ici qu'on découvre quelque chose de fascinant. Le modèle mathématique, d'une projection en deux dimensions d'une ligne d'atomes, paraît artificiel, un artefact qui simplifie l'explication du phénomène.  Et pourtant! ce modèle implique une propriété absolument exceptionnelle.

En effet, le déplacement vertical de la ligne sur la grille correspond, dans la réalité, à la translation d'une surface d'atomes sur l'autre. Puisqu'il est impossible de dire où devrait se trouver la ligne, on a déduit que toutes ses positions sont équivalentes et donc qu'une surface peut se déplacer parfaitement par rapport à l'autre. En d'autres mots, les deux surfaces sont libres de glisser l'une par rapport à l'autre dans une direction, mais sont liées de telle sorte qu'on ne peut les séparer!  On a ainsi un nanorail avec deux systèmes rattachés l'un par rapport à l'autre, mais qui peuvent glisser dans aucune perte d'énergie.

Il y a là un intérêt fondamental. En général, il y a absence de friction entre deux surfaces lorsqu'il ne peut pas se créer d'interaction entre celles-ci. C'est le cas du téflon, qui ne réagit avec presque rien.  Les molécules d'un oeuf ne pourront donc pas créer des liaisons chimiques avec la poêle anti-adhésive, ce qui fait que l'oeuf ne collera pas.  

Si l'oeuf et la poêle se comportaient comme les deux interfaces d'or, il serait impossible de décoller l'oeuf avec une spatule. Toutefois, l'oeuf pourrait glisser librement dans la poêle et pourrait alors être déposé, en le glissant, dans une assiette.

À partir d'un problème physique, on a créé un modèle mathématique qui semble plutôt artificiel. On étudie ensuite les propriétés de ce modèle qui prédit alors un comportement fascinant pour le système physique.  Étonnantes les mathématiques, n'est-ce pas ?