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J'avais une idée derrière la tête lorsque je vous ai parlé de Platon, la semaine dernière. Platon, comme je l'ai dit dans mon dernier billet, donnait à la géométrie une place particulière pour l'entendement de notre univers (n'étant ni philosophe, ni historien des sciences, je fais les coins ronds, mais ça devrait suffire pour ce billet). Lors de ma visite à Cambridge, mon hôte, Jonathan Doye, et une collaboratrice, Claire Massen, m'ont présenté un travail assez fascinant qui fait justement ressortir une géométrie étonnante qui semble être une propriété de tous les matériaux.  

Le problème est le suivant. Tout autour de nous, les atomes s'organisent afin de former des molécules, des solides. C'est ce qui explique l'existence même des planètes et de la vie.  Les structures choisies correspondent à des arrangements particulièrement stables et, donc, de faible énergie (on devrait aussi discuter des effets entropiques, mais je vais passer, afin de ne pas compliquer ce billet inutilement).  Mais comment les atomes font-ils pour trouver ces arrangements stables si rapidement, au milieu de toutes les possibilités auxquelles on peut penser?  La réponse à cette question nous permettrait de comprendre ce qui est à l'origine de la vie, par exemple. Il n'est donc pas surprenant que plusieurs chercheurs travaillent sur cette question.

Avant de me lancer tête baissée dans les détails, je dois vous parler de surface d'énergie. Si vous prenez une boîte que vous remplissez de billes (qui représentent des atomes), vous voyez immédiatement que vous pouvez placer ces billes de plusieurs manières différentes. Ainsi, si vous brassez un peu la boîte, vous déplacez les billes et vous vous trouvez avec une nouvelle « configuration », un nouvel empilement. Le passage d'une configuration à une autre, qui peut impliquer le déplacement d'une seule bille ou de plusieurs, ne se fait pas spontanément. Si vous laissez la boîte sur une table toute la nuit, les billes ne se déplaceront pas toutes seules et vous les retrouverez exactement où vous les aviez laissées. Pour passer d'une configuration à une autre, il faut appliquer une force et faire passer le système par-dessus une « barrière », qui sépare les configurations.   C'est ce que je montre ci-dessous dans le cas d'une seule bille.

Si au lieu de pousser une bille on la mettait au hasard sur la surface que j'ai dessinée. Celle-ci roulerait toujours vers le minimum le plus près. Le maximum d'énergie servant de ligne séparatrice. Si la bille est à gauche du maximum, elle va se placer dans le minimum de gauche; si elle est à droite, elle va de l'autre côté.  La figure 2 offre une représentation d'une surface d'énergie en deux dimensions. On peut aussi définir des lignes séparatrices qui divisent cette surface en « bassins d'attraction ». Tout ce qui se trouve à l'intérieur d'une région entourée par la ligne rouge roulera vers le même minimum.

Claire Massen et Jonathan Doye ont découvert que, pour plusieurs systèmes, on retrouve la même distribution des minima d'énergie et une relation bien définie entre la profondeur des minima d'énergie et la taille de leur bassin d'attraction : plus un minimim d'énergie est profond, et donc stable, plus son bassin d'attraction est grand. La structure finale correspond étonnamment à une structure mathématique fractale qu'on croyait artificielle, l'empilement appolonien. Je donne une représentation de cet empilement bidimensionnel dans la Figure 3. Pour le construire, on part avec un cercle dans lequel on inscrit 3 grands cercles qui se touchent. Puis on met un cercle plus petit, mais aussi grand que possible dans les espaces qui restent, on continue ainsi jusqu'à l'infini, avec des cercles de plus en plus petits.

Dans le cas de la surface d'énergie, les structures les plus stables correspondent aux cercles les plus grands. Ces structures sont en contact avec une infinité de structures très instables, mais aussi les structures juste un peu moins stables qu'elles, dans un agencement à donner le tournis.

La surface d'énergie qui contrôle l'assemble des atomes aurait donc cette forme bizarre, mais d'une très grande beauté. Quelle victoire pour Platon! Il reste maintenant à vérifier que c'est bien vrai et, si c'est le cas, à comprendre pourquoi?  Pourquoi est-ce que tous les systèmes étudiés ont cette même structure? Est-ce pour une raison triviale ou profonde? On ne sait pas.

Et quelles sont les implications de cette structure sur la dynamique d'assemblage des atomes?  On ne sait pas non plus.

Tout ça reste à étudier, bien sûr. Entre temps, on peut méditer sur l'importance de la géométrie en science et le flair de Platon.

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