Les pythagoriciens se sont amusés à représenter les nombres sous forme géométrique. Comment cela fonctionne-t-il ? Quel est le rapport avec le théorème des quatre carrés ? De Nicomaque de Gérase à Lagrange en passant par Fermat, voici l’histoire des nombres figurés !

 

 

 

Voici un extrait du livre II de l'Introduction arithmétique de Nicomaque de Gérase qui explique la manière dont on peut décomposer un p-gone d’ordre n en un (p-1)-gone d’ordre n et un triangle d’ordre n-1 :

Prends donc deux triangles que tu combines entre eux, tu obtiendras un carré parfait et, par conséquent, en brisant un carré quelconque, tu pourras obtenir deux triangles à partir de ce carré. Et de même un triangle ajouté à toute figure carrée donnera un pentagone quelconque ; c’est ainsi qu’un carré de 4 points ajouté à un triangle de 1 [point] donne un pentagone de 5 [points] et que le triangle suivant, évidemment de 3, ajouté de proche en proche à [un carré de] 9, donne un pentagone de 12 tandis que le [triangle] suivant, de 6, ajouté au [carré] suivant de 16, atteindra 22, de même que celui de 10 ajouté à celui de 25 donnera 35, et ainsi de suite sans cesse [1].

Le tableau suivant, présenté par Nicomaque, permet de comprendre toutes les décompositions possibles à la manière d'un triangle de Pascal: 

 

Longueur et largeur

 

Triangles

1

3

6

10

15

21

28

36

45

55

Profondeur

Carrés

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

Pentagones

1

5

12

22

35

51

70

92

117

145

Hexagones

1

6

15

28

45

66

91

120

153

190

Heptagones

1

7

18

34

55

81

112

148

189

235

Décomposition d'un pentagone en carré et triangle

[1]. Traduction par Antoine Houlou-Garcia et Alain Houlou, in Mathematikos, Les Belles Lettres, 2019, pp. 98-99.